|
comme vous le savez, PI et racine de 2 sont des irrationnels. En réalité il y en a une infinité et l'ensemble des nombres réels se compose de leur enseble et de celui des rationnels.
ces nombres ont posé longtemps problème aux grecs et à ceux qui leur ont succédé. si tout le mopnde a entendu parler de la quadrature du cercle, je vais citer un autre problème qui ébranla les géomètres d'alors.
Durant la grande peste d'Athène, un oracle aurait fait le présage suivant : l'épidémie serait circonscrite quand on aurait "doublé" l'autel d'Apollon.
Ce dernier était un cube de pierre tout simple. Quelques tentqtives òaladroites furent entreprises, réaliser un autel deux fois plus large et haut (dont 8 fois plus volumineux!) ou meme un second autel identique posé sur le premier. Les grecs conclurent qu'il fallait réaliser un cube de volume double et s'y attelèrent sans succès (on parle bien d'utiliser des arguments de géometrie - pour rappel racine de 2 est la longueur de la diagonale d'un carré de coté1)
face à leurs echecs, ils attribuèrent l'épidémie comme une punition envers la "dégénérescence" de leurs mathématiques.
Il fut démontré bien de siècles plus tard que la racine cubique de 2 ne pouvait etre ateinte par des arguments de géométrie.
Les irrationnels ne forment pas un corps ni meme un groupe. Mais par exemple les multiples rationnels d'un irrationnels forment des groupes : par exemple les k*racine de 2 avec k rationnel.
Cantor, dans ses recherches sur le cardinal des infinis ( soit le nobre d'élément d'un ensmble infini) s'est attaqué au problème de la taille des infinis. On dit des nobres entiers au'ils sont dénombrables. Mai les entiers pairs sont également dénombrables puisque qu'on peut leur aaocier à tous un nombre entier ( leur moitié, em l'occurence) donc "la moitié de l'infini" est aussi grand que l'infini.
Plus fort, il démontra que les rationnels sont dénombrables. Il existe en effet un moyen de compter un à un tous les rationnels. Pourtant, puisqu'il y en a une infinité entre deux nombre entiers l'inutition ferait coire le contraire? Existe-t-il un infini plus grand?
La réponse est oui. L'ensemble des nombre réels (sont ratioonels+irrationnels) est infinimenet plus grand aue l'ensembles des nombres entiers, il n'existe aucun moyen de les referencer un à un...
Cantor poussa ses recherches plus loin avant de basculer dans la folie (il démontra qu'il y avait autant de points sur la surface d'un carré que sur un de ses bords - il refusa de croire sa propre démonstration, horriblement contraire à la logique)
a bientot pour la suite...
|
Connexion
FAQ
Rechercher
Membres
